Integrasi Numerik Metode Trapesium: Konsep, Rumus, dan Contoh Soal Lengkap

Zsmart.id - Analisis numerik merupakan salah satu cabang matematika terapan yang penting untuk menyelesaikan perhitungan secara aproksimasi. Salah satu teknik penting di dalamnya adalah integrasi numerik, yaitu pendekatan untuk menghitung nilai integral ketika metode analitik sulit diterapkan.

Salah satu metode paling sederhana dan banyak digunakan dalam integrasi numerik adalah metode trapesium.

Apa Itu Integrasi Numerik Metode Trapesium?

Metode trapesium adalah teknik untuk mendekati nilai integral suatu fungsi dengan membagi interval integral menjadi beberapa bagian kecil, kemudian memperkirakan luas area di bawah kurva menggunakan bentuk trapesium.

Semakin banyak jumlah pembagian (subinterval), hasil perhitungan akan semakin mendekati nilai integral yang sebenarnya.

Rumus Metode Trapesium

Secara umum, untuk menghitung integral:

$$\int_a^b f(x)\,dx$$

menggunakan metode trapesium sederhana:

$$\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2} \left[ f(a) + f(b) \right]$$

Jika interval dibagi menjadi n subinterval dengan panjang sama, maka rumus metode trapesium majemuk adalah:

$$\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{h}{2} \left( f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + \ldots + 2f(x_{n-1}) + f(x_n) \right)$$

dengan:

• $h = \frac{b-a}{n}$ (panjang tiap subinterval),

• $x_0 = a$,

• $x_n = b$,

• $x_i = a + ih$ untuk $i = 1,2,\ldots,n-1$.

Langkah-Langkah Metode Trapesium

Berikut langkah-langkah menghitung integral menggunakan metode trapesium:

1. Tentukan batas integrasi $a$ dan $b$, serta jumlah subinterval $n$.

2. Hitung panjang subinterval $h = \frac{b-a}{n}$.

3. Tentukan titik-titik $x_0, x_1, \ldots, x_n$.

4. Hitung nilai fungsi di masing-masing titik.

5. Substitusi semua nilai ke dalam rumus trapesium majemuk.

Contoh Soal Metode Trapesium

Contoh 1

Soal:
Gunakan metode trapesium dengan 4 subinterval untuk menghitung:

$$\int_0^2 (x^2 + 1)\,dx$$

Penyelesaian:

Langkah 1:

• $a = 0$, $b = 2$, $n = 4$

• Hitung panjang subinterval:

$$h = \frac{2-0}{4} = 0.5$$

Langkah 2:
Tentukan titik-titik $x_i$:

$$x_0 = 0,\quad x_1 = 0.5,\quad x_2 = 1.0,\quad x_3 = 1.5,\quad x_4 = 2.0$$

Langkah 3:
Hitung $f(x_i)$ untuk masing-masing:

$$f(x) = x^2 + 1$$

• $f(0) = 1$

• $f(0.5) = 1.25$

• $f(1.0) = 2$

• $f(1.5) = 3.25$

• $f(2.0) = 5$

Langkah 4:
Substitusi ke rumus:

$$\int_0^2 (x^2+1)\,dx \approx \frac{0.5}{2} \left(1 + 2(1.25) + 2(2) + 2(3.25) + 5\right)$$ $$= 0.25 \times (1 + 2.5 + 4 + 6.5 + 5)$$ $$= 0.25 \times 19$$ $$= 4.75$$

Jawaban:
Pendekatan nilai integral adalah 4.75.

Contoh 2

Soal:
Gunakan metode trapesium dengan 6 subinterval untuk memperkirakan:

$$\int_1^4 \sqrt{x}\,dx$$

Penyelesaian:

Langkah 1:

• $a = 1$, $b = 4$, $n = 6$

• Hitung panjang subinterval:

$$h = \frac{4-1}{6} = 0.5$$

Langkah 2:
Tentukan titik-titik $x_i$:

$$x_0 = 1.0,\quad x_1 = 1.5,\quad x_2 = 2.0,\quad x_3 = 2.5,\quad x_4 = 3.0,\quad x_5 = 3.5,\quad x_6 = 4.0$$

Langkah 3:
Hitung $f(x) = \sqrt{x}$ untuk setiap titik:

• $f(1.0) = 1.000$

• $f(1.5) = 1.225$

• $f(2.0) = 1.414$

• $f(2.5) = 1.581$

• $f(3.0) = 1.732$

• $f(3.5) = 1.871$

• $f(4.0) = 2.000$

Langkah 4:
Substitusi ke rumus:

$$\int_1^4 \sqrt{x}\,dx \approx \frac{0.5}{2} \left(1.000 + 2(1.225) + 2(1.414) + 2(1.581) + 2(1.732) + 2(1.871) + 2.000\right)$$

Hitung bagian dalam tanda kurung:

$$= 1.000 + 2.450 + 2.828 + 3.162 + 3.464 + 3.742 + 2.000$$ $$= 18.646$$

Sehingga:

$$= 0.25 \times 18.646$$ $$= 4.6615$$

Jawaban:
Pendekatan nilai integral adalah sekitar 4.6615.

Metode trapesium dalam integrasi numerik merupakan teknik sederhana dan mudah diterapkan untuk menghitung luas di bawah kurva fungsi.
Dengan meningkatkan jumlah subinterval, hasil pendekatan semakin akurat.
Metode ini sangat berguna terutama untuk fungsi-fungsi yang sulit diintegralkan secara langsung.

Demikian materi singkat mengenai integrasi numerik metode trapesium. Semoga bermanfaat!

Share :