Penurunan Rumus Momen Inersia Benda-Benda Homogen

Zsmart.id - Momen inersia adalah ukuran kecenderungan suatu benda untuk mempertahankan keadaan rotasinya terhadap sumbu tertentu. Dalam fisika, momen inersia dilambangkan dengan huruf $I$ dan satuannya dalam SI adalah $\text{kg}\cdot {\text{m}}^2$.

Momen inersia sangat penting dalam analisis gerak rotasi benda, seperti dalam mekanika klasik dan teknik mesin.

Rumus Umum Momen Inersia

Secara umum, momen inersia benda homogen terhadap sumbu tertentu dihitung dengan:

$$I=\int r^{2}dm$$

di mana:

• $r$ = jarak elemen massa $dm$ dari sumbu rotasi

• $dm$ = elemen massa kecil dari benda

Jika benda homogen, massa tersebar merata, sehingga kita bisa menghubungkan $dm$ dengan volume $dV$ melalui massa jenis $\rho$ (massa per satuan volume):

$$dm=\rho dV$$

Momen Inersia Benda-Benda Homogen

1. Batang Homogen Panjang $L$ (Sumbu di Tengah)

Model:

• Massa batang: $M$

• Panjang batang: $L$

• Sumbu: Tegak lurus batang, melalui tengah batang.

Penurunan:

Ambil elemen kecil batang sepanjang $dx$ di posisi $x$ dari pusat.
Massa per satuan panjang:

$$\lambda = \frac{M}{L}$$

Elemen massa kecil:

$$dm = \lambda \, dx$$

Jarak ke sumbu rotasi = $x$.

Momen inersia:

$$dI = x^2 \, dm = x^2 \lambda \, dx$$

Total momen inersia:

$$I = \int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} x^2 \lambda \, dx$$

Hitung integral:

$$I = \lambda \int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} x^2 \, dx$$ $$= \lambda \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}$$ $$= \lambda \left( \frac{(L/2)^3}{3} - \frac{(-L/2)^3}{3} \right)$$ $$= \lambda \left( \frac{2(L/2)^3}{3} \right)$$ $$= \lambda \frac{L^3}{12}$$

Substitusi $\lambda = \frac{M}{L}$:

$$I = \frac{M}{L} \times \frac{L^3}{12} = \frac{1}{12} M L^2$$

Diperoleh:

$$\boxed{I = \frac{1}{12} M L^2}$$

2. Batang Homogen Panjang $L$ (Sumbu di Ujung)

Model:

• Sama seperti nomor 1, tapi sumbu di ujung.

Penurunan:

Mirip, hanya batas integrasi berubah dari $0$ ke $L$.

$$I = \int_{0}^{L} x^2 \lambda \, dx$$

Hitung:

$$I = \lambda \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^L$$ $$= \lambda \frac{L^3}{3}$$

Substitusi $\lambda = \frac{M}{L}$:

$$I = \frac{M}{L} \times \frac{L^3}{3} = \frac{1}{3} M L^2$$

Diperoleh:

$$\boxed{I = \frac{1}{3} M L^2}$$

3. Cakram Tipis Homogen (Sumbu Tengah)

Model:

• Massa cakram: $M$

• Jari-jari: $R$

• Sumbu: Melalui pusat, tegak lurus cakram.

Penurunan:

Ambil elemen kecil berbentuk cincin radius $r$ dan tebal $dr$.

Luas elemen:

$$dA = 2\pi r \, dr$$

Massa per satuan luas:

$$\sigma = \frac{M}{\pi R^2}$$

Elemen massa:

$$dm = \sigma \, dA = \sigma 2\pi r \, dr$$

Momen inersia elemen:

$$dI = r^2 \, dm$$ $$= r^2 \times \sigma 2\pi r \, dr = 2\pi \sigma r^3 \, dr$$

Total:

$$I = \int_0^R 2\pi \sigma r^3 \, dr$$ $$= 2\pi \sigma \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^R$$ $$= 2\pi \sigma \times \frac{R^4}{4}$$ $$= \frac{\pi \sigma R^4}{2}$$

Substitusi $\sigma = \frac{M}{\pi R^2}$:

$$I = \frac{\pi \times \frac{M}{\pi R^2} R^4}{2}$$ $$= \frac{M R^2}{2}$$

Diperoleh:

$$\boxed{I = \frac{1}{2} M R^2}$$

4. Silinder Pejal Homogen (Sumbu Tengah)

Model: Silinder dianggap sebagai kumpulan cakram tipis berlapis sepanjang tingginya.
Kalau rotasi terhadap sumbu pusat (panjang silinder), hasilnya sama dengan cakram, yaitu:

Diperoleh:

$$\boxed{I = \frac{1}{2} M R^2}$$

(Tidak perlu integrasi tambahan jika massanya merata sepanjang silinder.)

5. Bola Pejal Homogen (Sumbu Tengah)

Model:

• Massa bola: $M$

• Jari-jari: $R$

• Sumbu: Melalui pusat.

Penurunan:

Ambil elemen berbentuk cakram dengan radius $r$ pada posisi $y$ dari pusat.

Hubungan:

$$r^2 = R^2 - y^2$$

Volume elemen tipis:

$$dV = \pi r^2 \, dy = \pi (R^2 - y^2) dy$$

Massa jenis bola:

$$\rho = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}$$

Massa elemen:

$$dm = \rho \, dV = \rho \pi (R^2 - y^2) dy$$

Momen inersia elemen (cakram):

$$dI = \frac{1}{2} r^2 \, dm$$

Substitusi:

$$dI = \frac{1}{2} (R^2 - y^2) \times \rho \pi (R^2 - y^2) dy$$ $$= \frac{1}{2} \rho \pi (R^2 - y^2)^2 dy$$

Total:

$$I = \int_{-R}^{R} \frac{1}{2} \rho \pi (R^2 - y^2)^2 dy$$

Karena simetri:

$$I = \rho \pi \int_0^R (R^2 - y^2)^2 dy$$

Expand:

$$(R^2 - y^2)^2 = R^4 - 2R^2 y^2 + y^4$$

Maka:

$$I = \rho \pi \left[ R^4 y - \frac{2}{3} R^2 y^3 + \frac{y^5}{5} \right]_0^R$$ $$= \rho \pi \left( R^5 - \frac{2}{3} R^5 + \frac{R^5}{5} \right)$$ $$= \rho \pi R^5 \left(1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5}\right)$$ $$= \rho \pi R^5 \left(\frac{15-10+3}{15}\right)$$ $$= \rho \pi R^5 \times \frac{8}{15}$$

Substitusi $\rho = \frac{3M}{4\pi R^3}$:

$$I = \frac{3M}{4\pi R^3} \times \pi R^5 \times \frac{8}{15}$$ $$= \frac{3M R^2}{4} \times \frac{8}{15}$$ $$= M R^2 \times \frac{2}{5}$$

Diperoleh:

$$\boxed{I = \frac{2}{5} M R^2}$$

6. Bola Tipis (Kulit Bola) Homogen

Model:

• Massa bola: $M$

• Jari-jari: $R$

• Ketebalan diabaikan (kulit bola).

Penurunan:

Seluruh massa berada pada jarak $R$ dari pusat. Karena itu:

Setiap elemen massa $dm$ berjarak $R$ dari pusat.

Momen inersia total:

$$I = \int R^2 \, dm = R^2 \int dm = R^2 \times M$$

Tetapi kulit bola memiliki distribusi arah tertentu, dan analisis integralnya (lebih rinci) menghasilkan:

Diperoleh:

$$\boxed{I = \frac{2}{3} M R^2}$$

(Materi lengkap kulit bola bisa dibahas jika mau lebih mendalam.)

Kesimpulan

Penurunan keenam rumus momen inersia ini melibatkan:

• Pemilihan elemen kecil yang tepat

• Menentukan massa elemen dari massa jenis

• Integrasi dengan batas sesuai geometri benda

Demikian materi singkat mengenai penentuan momen inersia dari beberapa benda-benda homogen. Semoga bermanfaat.

Share :