Momen Inersia: Definisi, Rumus, Teorema Sumbu Sejajar, dan Contoh Soal Lengkap

Zsmart.id - Dalam fisika, khususnya mekanika klasik, sistem benda tegar menjadi salah satu topik fundamental yang digunakan dalam banyak aplikasi teknik dan sains. Artikel ini membahas secara lengkap: definisi benda tegar, konsep gerakan, perumusan momen inersia, penurunan rumus, serta teorema sumbu sejajar dan teorema sumbu tegak lurus.

Apa Itu Sistem Benda Tegar?

Benda tegar (rigid body) adalah benda yang jarak antar partikel penyusunnya tetap konstan saat diberi gaya. Dengan kata lain, benda tidak mengalami deformasi atau perubahan bentuk.

Contoh benda tegar: roda, piringan, balok baja, cakram, bola pejal.

Catatan: Dalam prakteknya, semua benda bisa sedikit berubah bentuk, tetapi untuk penyederhanaan perhitungan, benda dianggap tegar.

Gerakan Benda Tegar

Ada dua jenis gerakan utama:

1. Translasi: Seluruh bagian benda bergerak dengan kecepatan dan percepatan yang sama.

2. Rotasi: Benda berputar terhadap suatu sumbu tetap.

Dalam rotasi, konsep penting yang digunakan adalah momen inersia.

Momen Inersia: Definisi dan Penurunan Rumus

Definisi Momen Inersia

Momen inersia (I) adalah ukuran resistansi benda terhadap perubahan gerak rotasinya. Ini analog dengan massa dalam gerak translasi.

Semakin besar momen inersia, semakin sulit mempercepat atau memperlambat rotasi benda.

Penurunan Rumus Momen Inersia

Kasus: Sistem Partikel

Untuk sistem terdiri dari $n$ partikel bermassa $m_i$ pada jarak $r_i$ dari sumbu rotasi, gaya sentripetal yang dibutuhkan untuk mempertahankan partikel pada lintasan melingkar berhubungan dengan percepatan sudut.

Momen gaya (torsi) total ($\tau$) terhadap sumbu:

$$\tau = \sum_{i} r_i F_i$$

Gaya sentripetal $F_i$ adalah:

$$F_i = m_i a_i \quad \text{dengan} \quad a_i = r_i \alpha$$

($\alpha$ = percepatan sudut)

Substitusi:

$$F_i = m_i r_i \alpha$$

Maka:

$$\tau = \sum_{i} r_i (m_i r_i \alpha)$$ $$\tau = \left( \sum_{i} m_i r_i^2 \right) \alpha$$

Dari sini, momen inersia didefinisikan sebagai:

$$I = \sum_{i} m_i r_i^2$$

sehingga:

$$\tau = I \alpha$$

Momen Inersia untuk Benda Kontinu

Jika massa tersebar secara kontinu, jumlah partikel diganti integral:

$$I = \int r^2 \, dm$$

Penjelasan:

• $dm$ adalah elemen massa kecil.

• $r$ adalah jarak $dm$ terhadap sumbu rotasi.

Jika diketahui kerapatan:

• Linear: $\lambda = \frac{dm}{dl}$

• Luas: $\sigma = \frac{dm}{dA}$

• Volume: $\rho = \frac{dm}{dV}$

Maka $dm$ dapat ditulis dalam bentuk $\lambda \, dl$, $\sigma \, dA$, atau $\rho \, dV$ tergantung bentuk benda.

Contoh Penurunan Momen Inersia Batang Tipis (Panjang $L$, Massa $M$)

Misalkan sumbu rotasi di ujung batang.

1. Ambil elemen kecil panjang $dx$ pada posisi $x$.

2. Massa elemen kecil:

$$dm = \frac{M}{L} dx$$

3. Jarak ke sumbu = $x$, maka:

$$I = \int_0^L x^2 \, dm = \int_0^L x^2 \frac{M}{L} dx$$ $$I = \frac{M}{L} \int_0^L x^2 dx$$ $$I = \frac{M}{L} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^L$$ $$I = \frac{M}{L} \times \frac{L^3}{3}$$ $$I = \frac{1}{3} M L^2$$

Hasil:
Momen inersia batang tipis terhadap sumbu di ujung adalah $\frac{1}{3} ML^2$.

Teorema Sumbu Sejajar (Parallel Axis Theorem)

Pernyataan:

Jika diketahui momen inersia $I_{\text{cm}}$ terhadap sumbu yang melewati pusat massa, maka momen inersia $I$ terhadap sumbu sejajar berjarak $d$ dari pusat massa adalah:

$$I = I_{\text{cm}} + Md^2$$

Keterangan:

• $I_{\text{cm}}$ = momen inersia di pusat massa

• $M$ = massa total

• $d$ = jarak antara sumbu baru dengan sumbu pusat massa

Contoh Penggunaan:
Untuk batang tipis panjang $L$:

• Momen inersia di tengah: $I_{\text{cm}} = \frac{1}{12}ML^2$

• Momen inersia di ujung (jarak $d = \frac{L}{2}$):

$$I = \frac{1}{12}ML^2 + M\left( \frac{L}{2} \right)^2 = \frac{1}{12}ML^2 + \frac{1}{4}ML^2 = \frac{1}{3}ML^2$$

hasil sesuai dengan perhitungan integral sebelumnya.

Teorema Sumbu Tegak Lurus (Perpendicular Axis Theorem)

Pernyataan:

Untuk benda datar (dua dimensi), seperti pelat atau cakram:

$$I_z = I_x + I_y$$

di mana:

• $I_x$, $I_y$ = momen inersia terhadap sumbu $x$ dan $y$ di bidang benda

• $I_z$ = momen inersia terhadap sumbu $z$ yang tegak lurus bidang benda (keluar dari bidang)

Syarat: Berlaku hanya untuk benda datar.

Contoh:
Untuk cakram tipis, kita bisa menghitung $I_z$ dari jumlah $I_x$ dan $I_y$.

Kesimpulan

Dalam sistem benda tegar, kita memahami bahwa:

• Benda dianggap tidak berubah bentuk saat bergerak.

• Momen inersia berfungsi sebagai penghambat perubahan rotasi.

• Penurunan rumus momen inersia didasarkan pada hubungan antara torsi dan percepatan sudut.

• Teorema sumbu sejajar dan sumbu tegak lurus memudahkan menghitung momen inersia untuk berbagai posisi sumbu.

Pemahaman konsep ini sangat penting untuk mendalami dinamika rotasi, energi kinetik rotasi, dan keseimbangan benda tegar.

Contoh Soal Sistem Benda Tegar: Momen Inersia dan Teorema Sumbu Sejajar

Untuk memperdalam pemahaman tentang sistem benda tegar dan momen inersia, berikut beberapa contoh soal beserta penyelesaiannya.

Soal 1: Momen Inersia Batang Tipis terhadap Sumbu Tengah

Sebuah batang homogen bermassa $2\, \text{kg}$ dan panjang $1{,}5\, \text{m}$ diputar terhadap sumbu yang melewati pusat massanya dan tegak lurus batang.
Hitunglah momen inersia batang tersebut!

Penyelesaian:

Diketahui:

• Massa $M = 2\, \text{kg}$

• Panjang $L = 1{,}5\, \text{m}$

Momen inersia batang tipis terhadap sumbu di tengah adalah:

$$I_{\text{cm}} = \frac{1}{12}ML^2$$

Substitusi:

$$I_{\text{cm}} = \frac{1}{12} \times 2 \times (1{,}5)^2$$ $$I_{\text{cm}} = \frac{2}{12} \times 2{,}25$$ $$I_{\text{cm}} = \frac{1}{6} \times 2{,}25$$ $$I_{\text{cm}} = 0{,}375\, \text{kg}\,\text{m}^2$$

Jawaban: $I = 0{,}375\, \text{kg}\,\text{m}^2$

Soal 2: Momen Inersia Batang terhadap Sumbu di Ujung (Teorema Sumbu Sejajar)

Menggunakan data pada Soal 1, hitunglah momen inersia batang tersebut terhadap sumbu di salah satu ujung batang.

Penyelesaian:

Gunakan teorema sumbu sejajar:

$$I = I_{\text{cm}} + M d^2$$

dengan $d = \frac{L}{2} = \frac{1{,}5}{2} = 0{,}75\, \text{m}$.

Substitusi:

$$I = 0{,}375 + 2 \times (0{,}75)^2$$ $$I = 0{,}375 + 2 \times 0{,}5625$$ $$I = 0{,}375 + 1{,}125$$ $$I = 1{,}5\, \text{kg}\,\text{m}^2$$

Jawaban: $I = 1{,}5\, \text{kg}\,\text{m}^2$

Soal 3: Momen Inersia Cincin Tipis terhadap Sumbu Tengah

Sebuah cincin tipis bermassa $0{,}5\, \text{kg}$ dan jari-jari $0{,}2\, \text{m}$ berputar terhadap sumbu yang melewati pusat dan tegak lurus bidang cincin.
Hitung momen inersianya!

Penyelesaian:

Untuk cincin tipis:

$$I = MR^2$$

Diketahui:

• $M = 0{,}5\, \text{kg}$

• $R = 0{,}2\, \text{m}$

Substitusi:

$$I = 0{,}5 \times (0{,}2)^2$$ $$I = 0{,}5 \times 0{,}04$$ $$I = 0{,}02\, \text{kg}\,\text{m}^2$$

Jawaban: $I = 0{,}02\, \text{kg}\,\text{m}^2$

FAQ Momen Inersia

Apa itu momen inersia?

Momen inersia adalah ukuran kelembaman rotasi suatu benda terhadap sumbu tertentu, tergantung pada distribusi massa dan jaraknya dari sumbu.

Bagaimana cara menghitung momen inersia partikel?

Momen inersia partikel tunggal dihitung dengan rumus:
\( I = m r^2 \)
di mana \( m \) adalah massa partikel dan \( r \) jaraknya dari sumbu rotasi.

Bagaimana momen inersia benda kontinyu dihitung?

Untuk benda kontinyu, momen inersia dihitung dengan integral:
\( I = \int r^2 \, dm \)
di mana \( r \) adalah jarak elemen massa \( dm \) dari sumbu rotasi.

Apa itu Teorema Sumbu Sejajar?

Teorema Sumbu Sejajar menyatakan bahwa momen inersia terhadap sumbu baru berjarak \( d \) dari sumbu pusat massa adalah:
\( I = I_{\text{cm}} + Md^2 \)
di mana \( M \) adalah massa benda dan \( I_{\text{cm}} \) momen inersia terhadap pusat massa.

Apa perbedaan antara momen inersia di pusat massa dan di sumbu lain?

Momen inersia di pusat massa biasanya lebih kecil. Jika dihitung terhadap sumbu lain, nilai momen inersia akan lebih besar sesuai jarak \( d \) ke sumbu baru, mengikuti Teorema Sumbu Sejajar.

Berikan contoh penggunaan momen inersia dalam kehidupan sehari-hari.

Contohnya adalah ayunan pintu. Pintu berputar lebih mudah jika sumbu di dekat pinggirannya, sesuai prinsip momen inersia yang lebih kecil dibandingkan jika sumbu di tengah pintu.

Share :