Tensor Momen Inersia dan Diagonalisasi: Konsep, Rumus, dan Contoh Lengkap

Zsmart.id - Tensor momen inersia adalah konsep penting dalam fisika rotasi benda tegar. Pemahaman tentang tensor ini, beserta proses diagonalisasi tensor momen inersia, sangat berguna untuk menganalisis gerak rotasi yang kompleks.

Artikel ini membahas secara lengkap dan mendalam tentang definisi tensor momen inersia, bentuk matematisnya, pentingnya diagonalisasi, serta langkah-langkah menemukan sumbu utama rotasi.

Apa Itu Tensor Momen Inersia?

Tensor momen inersia adalah perluasan dari konsep skalar momen inersia ke dalam bentuk tiga dimensi. Tensor ini menghubungkan antara vektor momentum sudut $\vec{L}$ dan vektor kecepatan sudut $\vec{\omega}$ melalui persamaan:

$$\vec{L} = \mathbf{I} \vec{\omega}$$

di mana:

• $\vec{L}$= momentum sudut (Angular momentum)

• $\mathbf{I}$ = tensor momen inersia

• $\vec{\omega}$ = kecepatan sudut (Angular velocity)

Bentuk Umum Tensor Momen Inersia

Dalam sistem koordinat kartesian, tensor momen inersia berbentuk matriks $3 \times 3$ sebagai berikut:

\[\mathbf{I} =\begin{bmatrix}I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\I_{yx} & I_{yy} & I_{yz} \\I_{zx} & I_{zy} & I_{zz}\end{bmatrix}\]

Elemen-elemennya didefinisikan oleh integral distribusi massa:

Catatan penting:
Tensor ini simetris, artinya $I_{ij} = I_{ji}$. Simetri ini memastikan bahwa tensor dapat didiagonalisasi.

Mengapa Tensor Momen Inersia Penting?

Tensor momen inersia menentukan bagaimana distribusi massa suatu benda mempengaruhi gerakan rotasinya. Beberapa alasan mengapa penting:

• Menentukan hubungan antara $\vec{L}$ dan $\vec{\omega}$.

• Mengidentifikasi sumbu utama benda tegar.

• Menyederhanakan perhitungan dinamika rotasi.

• Memahami stabilitas gerak rotasi benda.

Diagonalisasi Tensor Momen Inersia

Apa Itu Diagonalisasi?

Diagonalisasi adalah proses mengubah tensor momen inersia menjadi bentuk diagonal menggunakan sistem sumbu baru (principal axes), sehingga interaksi antar komponen rotasi menjadi independen.

Setelah diagonalisasi, tensor menjadi:

\[\mathbf{I}' =\begin{bmatrix} I_1 & 0 & 0 \\0 & I_2 & 0 \\0 & 0 & I_3\end{bmatrix}\]

dengan:

• $I_1$, $I_2$, $I_3$ adalah momen inersia utama atau eigenvalue.

• Arah masing-masing sumbu adalah eigenvector.

Langkah-Langkah Diagonalisasi Tensor Momen Inersia

Berikut prosedur detail untuk mendiagonalisasi tensor momen inersia:

1. Tulis Tensor Momen Inersia
   Susun elemen tensor $\mathbf{I}$ sesuai bentuk matriks $3\times3$.

2. Cari Eigenvalue (Momen Inersia Utama)
   Selesaikan persamaan karakteristik:

   $$\det(\mathbf{I} - \lambda \mathbf{I}_3) = 0$$

   untuk menemukan nilai $\lambda = I_1, I_2, I_3$
   

3. Cari Eigenvector (Sumbu Principal)
   Untuk setiap eigenvalue $\lambda$, selesaikan:

   $$(\mathbf{I} - \lambda \mathbf{I}_3)\vec{v} = 0$$

   untuk mendapatkan arah sumbu utama.

4. Susun Basis Baru
   Eigenvectors menjadi basis baru di mana tensor berbentuk diagonal.

Contoh Sederhana Diagonalisasi Tensor Momen Inersia

Misalkan tensor momen inersia:

\[\mathbf{I} =\begin{bmatrix}4 & 1 & 0 \\1 & 3 & 0 \\0 & 0 & 2\end{bmatrix}\]

Cari eigenvalues:

\[\det(\mathbf{I} - \lambda \mathbf{I}_3) = (4-\lambda)(3-\lambda)(2-\lambda) - (1)^2(2-\lambda) = 0\]

Setelah dihitung, dapatkan eigenvalues: $\lambda_1 = 5$, $\lambda_2 = 2$, $\lambda_3 = 2$. Cari eigenvectors untuk masing-masing λ Tensor ini kemudian dapat disusun ulang dalam basis baru menjadi diagonal.

Contoh Soal: Menghitung Tensor Momen Inersia

Sebuah benda terdiri dari 3 partikel:

• Massa $m$ pada posisi $(a,0,0)$,

• Massa $m$ pada posisi $(0,a,0)$,

• Massa $m$ pada posisi $(0,0,a)$.

Hitung tensor momen inersia terhadap pusat koordinat!

1. Rumus dasar tensor momen inersia:

Setiap elemen tensor didefinisikan oleh:

\[I_{xx} = \sum m_i (y_i^2 + z_i^2)\]\[I_{yy} = \sum m_i (x_i^2 + z_i^2)\]\[I_{zz} = \sum m_i (x_i^2 + y_i^2)\]\[I_{xy} = I_{yx} = -\sum m_i x_i y_i\]\[I_{xz} = I_{zx} = -\sum m_i x_i z_i\]\[I_{yz} = I_{zy} = -\sum m_i y_i z_i\]

2. Hitung masing-masing elemen tensor:

Untuk ketiga partikel, kita hitung satu per satu.

Hitung elemen diagonal:

Untuk $I_{xx}$: 

\[I_{xx} = m(0^2 + 0^2) + m(a^2 + 0^2) + m(0^2 + a^2) = m(0) + m(a^2) + m(a^2) = 2ma^2\]

Untuk $I_{yy}$:

\[I_{yy} = m(a^2 + 0^2) + m(0^2 + 0^2) + m(0^2 + a^2) = m(a^2) + m(0) + m(a^2) = 2ma^2\]

Untuk $I_{zz}$:

\[I_{zz} = m(a^2 + 0^2) + m(0^2 + a^2) + m(0^2 + 0^2) = m(a^2) + m(a^2) + m(0) = 2ma^2\]

Hitung elemen non-diagonal:

Untuk $I_{xy}$ dan $I_{yx}$:

\[I_{xy} = I_{yx} = -(m \times a \times 0 + m \times 0 \times a + m \times 0 \times 0) = 0\]

Untuk $I_{xz}$ dan $I_{zx}$:

\[I_{xz} = I_{zx} = -(m \times a \times 0 + m \times 0 \times 0 + m \times 0 \times a) = 0\]

Untuk $I_{yz}$ dan $I_{zy}$:

\[I_{yz} = I_{zy} = -(m \times 0 \times 0 + m \times 0 \times a + m \times a \times 0) = 0\]

3. Susun Tensor Momen Inersia:

Karena semua elemen non-diagonal adalah nol, tensor menjadi diagonal:

\[\mathbf{I} =\begin{bmatrix}2ma^2 & 0 & 0 \\0 & 2ma^2 & 0 \\0 & 0 & 2ma^2\end{bmatrix}\]

Tensor ini berbentuk diagonal dan menunjukkan bahwa benda ini isotropik terhadap rotasi di sekitar pusat.

Tensor momen inersia adalah alat penting untuk menganalisis gerak rotasi benda tiga dimensi. Melalui diagonalisasi tensor momen inersia, kita bisa menemukan sumbu utama rotasi dan menyederhanakan persamaan dinamika rotasi. Dengan memahami konsep ini maka analisis gerak rotasi menjadi lebih efisien.dan dapat diketahui sifat-sifat penting benda tegar seperti stabilitas dan distribusi massa.

Demikian materi singkat mengenai tensor momen inersia dan diagonalisasinya. Semoga bermanfaat!

Share :